问一道数学题随机变量相关.........

X是[0，1]上均匀分布的随机变量，Y在[x，1]均匀分布，Z在[y，1]上仍然是均匀分布
求Z的期望值


麻烦数学高人们过程说得详细点

貌似就是x^3在0—1的积分

1/4？？

x是0到1之间随便一个数
y是1，1方块之间随便一个数
z有点费解。。。应该是三次元的意思

f(Y=y) = f(Y=y | X=x) f(X=x) dx 在[0,y]积分 = - ln(1-y)

f(Z=z) = f(Z=z | Y=y) f(Y=y) dy 在[0,z]积分 = (ln(1-z))^2 / 2

期望 = f(Z=z) z dz 在[0,1]积分 = 7/8

谢谢 我做出来也是f(Z=z) = (ln(1-z))^2 / 2
然后期望 = f(Z=z) z dz 在[0,1]积分我不会了怎么积出来7/8啊

t = 1- z , 期望 = (lnt)^2/2 (1-t) dt 在[0,1]积分 = (lnt)^2/2 dt 在[0,1]积分 - (lnt)^2/2 t dt 在[0,1]积分

前面的积分等价于(ln(1-z))^2/2 dz 在[0,1]积分 = 1

后面的分部积分两次: (lnt)^2/4 dt^2 = (lnt)^2/4 t^2 - t lnt/2 dt = (lnt)^2/4 t^2 - lnt/4 dt^2 = (lnt)^2/4 t^2 - lnt/4 t^2 + t/4 dt = 0 - 0 + 1/8

不懂。凑热闹。

多谢指点