刚才躺床上忽然想到一个随机数的问题，想不明白，问问各位数学达人。。。。。

2018-09-23 11:00

Jonsoncao2018-09-23 09:31
这里我们假设存在一个真·随机数生成器可以真实还原所有分布

第一个问题：首先你要分开“概率密度”和“概率”，如果你考虑一个连续的区间的话，某个数或者某些数被取到的概率是他们的概率密度乘以（其实是积分）这些数的长度（测度）

这个概率密度之所以是概率密度，需要它满足概率公理，要求这个概率密度在随机数所在区间上的积分是1（取所有数的概率加起来应该是1）

如果你要求抽到每一个实数的概率相等，那么设这个分布的概率密度为一个常数c，如果c不是0，那么c在全体实数上的积分是无穷大肯定不可能是1；如果c是0，那么积分就是0

所以就不存在这么一个分布了

先生成-pi/2到pi/2上的均匀分布的随机数再取tan肯定没法在全体实数上还是均匀分布的；原因就是arctan求导是1/(1+x^2)，最后的结果就是，生成的随机数还是会集中在0附近

第二个问题：对于这种定义在连续区间上的随机数，抽到某个固定的数的概率为0，因为某个固定的数的长度（测度）是0；“抽不到”和“抽的概率是0”是两个不同的东西，这里我们不能用频率派的概率理解去解释连续区间上的随机数：比如0概率事件也有可能发生无穷多次。连续区间（不可数）里面的数太多了，如果你用抽数这种思维来理解，就变成了频率派的概率解释，去理解连续随机数是非常危险的；比如1秒抽一个实数，一直抽下去，怎么也不可能把实数抽完的，所以你的采样空间必定是一个可数集合，就不是实数了；各种矛盾
Jonsoncao2018-09-23 09:32
不用YY了，不可能的
OpEth2018-09-23 09:45
所以结论是实数集没法实现随机抽数咯？

但是俺主贴其实说的是自然数集，自然数是可数集，那是不是可以实现完全随机等概率的抽一个数呢？
jjx012018-09-23 09:49
无穷多个0的积分未必是0
比如无穷多面积为0的直线，构成的区域具有面积
Jonsoncao2018-09-23 09:50
1. 可以随机抽，密度不可能均匀
2. 也不行，每个数的概率不可能一样（如果都一样都是c，无穷个加起来不可能等于1）

很佩服瓶子能把一个这么基础的数学问题用自己的方式表达出来。
Jonsoncao2018-09-23 09:51

:fq8:

同学你基础没学好，别出来显了
jjx012018-09-23 09:53
应该是长度为0的直线加起来构不成面积？
微积分基础已经全丢了

[本帖最后由 jjx01 于 2018-9-23 21:55 编辑]
jjx012018-09-23 10:23
在边长为1的正方形内等概率任取一点是不是也做不到？
如果把正方形看成无数条长度为1的线段拼起，是不是相当于在实数轴上任取一个数x？
OpEth2018-09-23 10:41
大概理解了，多谢解答，不过看来俺得去补习一些基础的概率论和测度论方面的内容才行。。。。。
zerlier2018-09-23 11:14
我还是不理解这个问题：究竟如何从一个无穷集中挑选一个元素？这看起来是一个构造的问题

如果是的话，如何能任意构造出一个无穷集中的元素啊……
唐晓东2018-09-24 12:00
错了，实数和自然数是一样多

表面看好像实数比自然数多，比如自然数1，后面就是2，，但是实数有1.1 1.2 1.3这样已经多很多。

但是你忽略了无穷个。。把实数乘以10的N次方，那么就对应自然数，这个N可以无穷大。
djkiller2018-09-24 12:23
连续分布上的点概率为0
恶灵古堡2018-09-24 12:58
0概率和不可能是两个概念啊
论坛之星2018-09-24 01:30
https://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality_of_the_continuum
不要误人子弟了好吗

[本帖最后由论坛之星于 2018-9-24 01:42 编辑]
breezing2018-09-24 01:53
不行吧，两个集合都是非紧的。这意味着测度一定出问题。
Jonsoncao2018-09-24 01:55
正确；有长度的线段虽然在2维看来没有“面积”，但是有“密度”概率论的基础是集合论，而现代集合论的基础是选择公理……用不严格通俗的话来讲，一个和其等价的命题大意可以说为“通过排序的方式，可以比较不同无穷集合”
也就间接肯定了“构造”和“存在”这些数学上不证自明的概念
也就是说你的疑问是质疑公理系统的合理性，而现代数学已经假设了这些已经不证自明……
breezing2018-09-24 02:02
zorn引理和选择公理等价。但是并不是蕴含在集合论内。
有些结论是不需要假设选择公理的
jjx012018-09-24 08:30
放google找了一下这个问题，还真有人问过
答案是：正态分布让σ->+∞时即为无穷大区间上的均匀分布
实际应用里让σ取一个足够大的数就可以近似
lobydenk2018-09-24 09:04
先了解二进制 10=2 11=3 101=5
然后用硬币取值数字面记1 图案面记0，硬币立起来记结束，通过投掷硬币可以获得一系列1100，0110110101110之类的二进制数数值，这样从算法上，可以随机获得所有自然数的值，
人总是纠结无穷大，总是想从科学和数学上去解答，其实就是对长生不老的追求，最后还是变成哲学问题
Jobs2018-09-24 09:40
误人子弟
AliaAnonyma2018-09-25 07:50
凭什么不是，主楼有没有明言。

哪有那么多“显然”，“必然”，期望为无穷大也是有数学上的要求的，不是你想什么就是什么。
zerlier2018-09-26 12:12
问题不在于要不要选择公理，而是选择公理本身与构造不相容，所以前面说那么多映射的只是beg question而已，不存在算法里啊
耶稣复临2018-09-27 05:37
所以都是伪随机
DKNYZK2018-09-27 05:55
普林斯顿数学老师在此可以终结此帖了

本帖最后由 DKNYZK 于 2018-9-27 17:56 通过手机版编辑